Ecuaciones Trigonometricas 1 Bachillerato Ejercicios Resueltos Fixed

Para resolver ecuaciones trigonométricas en 1º de Bachillerato, el objetivo es encontrar todos los ángulos (

) que satisfacen la igualdad, teniendo en cuenta la periodicidad de las funciones (normalmente +360∘kpositive 360 raised to the composed with power k o

). El método general consiste en utilizar identidades fundamentales para reducir la expresión a una sola razón trigonométrica (solo seno, solo coseno o solo tangente). Conceptos Clave y Fórmulas Antes de empezar, debes dominar estas herramientas: Identidad Pitagórica: (útil para cambiar de seno a coseno y viceversa). Ángulo Doble: y . Relación de Tangente: . Periodicidad: Recuerda añadir +360∘kpositive 360 raised to the composed with power k (o ) a tus soluciones, donde . Ejercicio 1: Ecuación con Ángulo Doble Resolver: 1. Sustituir el ángulo doble Aplicamos la fórmula del seno del ángulo doble: . 2sinxcosx=cosx2 sine x cosine x equals cosine x 2. Igualar a cero y factorizar ¡Ojo! No dividas por cosxcosine x , ya que podrías perder soluciones si . Pasamos todo a un lado: 2sinxcosx−cosx=02 sine x cosine x minus cosine x equals 0 Sacamos factor común cosxcosine x :

cosx(2sinx−1)=0cosine x open paren 2 sine x minus 1 close paren equals 0 3. Resolver cada factor

Para que un producto sea cero, uno de los factores debe serlo: Caso 1: Caso 2: (el seno es positivo en el 1º y 2º cuadrante). Ejercicio 2: Ecuación de Segundo Grado Resolver: 1. Homogeneizar la ecuación Usamos para tener solo la función seno:

2(1−sin2x)+3sinx=32 open paren 1 minus sine squared x close paren plus 3 sine x equals 3

2−2sin2x+3sinx=32 minus 2 sine squared x plus 3 sine x equals 3 2. Reordenar como ecuación cuadrática Despejamos: [ \tan^2 x = 3 \Rightarrow \tan x = \pm \sqrt3 ]

-2sin2x+3sinx−1=0⟹2sin2x−3sinx+1=0negative 2 sine squared x plus 3 sine x minus 1 equals 0 ⟹ 2 sine squared x minus 3 sine x plus 1 equals 0 Hacemos el cambio de variable : 2t2−3t+1=02 t squared minus 3 t plus 1 equals 0 3. Calcular las soluciones

Aplicando la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

t=3±(-3)2−4(2)(1)2(2)=3±14t equals the fraction with numerator 3 plus or minus the square root of open paren negative 3 close paren squared minus 4 open paren 2 close paren open paren 1 close paren end-root and denominator 2 open paren 2 close paren end-fraction equals the fraction with numerator 3 plus or minus 1 and denominator 4 end-fraction y Soluciones Finales Las soluciones para los ejercicios planteados son: Ejercicio 1: . Ejercicio 2: .

¿Te gustaría que resolvamos algún sistema de ecuaciones trigonométricas o prefieres practicar con la tangente? ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejercicio 6: Ecuación con tangente (Fixed: periodicidad)

Enunciado: Resuelve: (\tan^2 x - 3 = 0)

Solución:

  1. Despejamos: [ \tan^2 x = 3 \Rightarrow \tan x = \pm \sqrt3 ]

  2. ¿Qué ángulos tienen tangente (\sqrt3)? [ \tan x = \sqrt3 \Rightarrow x = 60^\circ = \frac\pi3 \ \texty \ x = 240^\circ = \frac4\pi3 ] Pero la tangente tiene periodo (\pi), así que: [ x = \frac\pi3 + k\pi ]

  3. Para (\tan x = -\sqrt3): [ x = 120^\circ = \frac2\pi3 + k\pi ]

  4. Unificando: como ambas familias son (\frac\pi3 + k\pi) y (\frac2\pi3 + k\pi), la solución general es: [ x = \frac\pi3 + \frack\pi2 \ ? ] Mejor mantenerlas separadas: [ x = \frac\pi3 + k\pi, \quad x = \frac2\pi3 + k\pi ]

Fixed: La tangente tiene periodo (\pi), no (2\pi). No escribas (+2k\pi) para tangente.

4. Common Mistakes to Avoid

  1. Dividing by a trigonometric function that could be zero → loss of solutions.
    Example: ( \sin x \cos x = \sin x ) ⇒ bring all terms: ( \sin x (\cos x - 1) = 0 ), don’t divide by ( \sin x ). ten presente estas ideas clave:

  2. Forgetting periodicity when giving general solution.

  3. Using incorrect quadrants for signs of sine, cosine, tangent.

  4. Not converting degrees/radians consistently – stick to one system.

🧠 1. Key Concepts to Review

  • Trigonometric ratios: sin, cos, tan, cot, sec, csc.
  • Fundamental identities:
    • (\sin^2 x + \cos^2 x = 1)
    • (1 + \tan^2 x = \sec^2 x)
    • (\tan x = \frac\sin x\cos x), (\cot x = \frac1\tan x)
  • Special angles: (0, \frac\pi6, \frac\pi4, \frac\pi3, \frac\pi2, \pi, \frac3\pi2, 2\pi) (in radians) or (0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 180^\circ, 270^\circ, 360^\circ).
  • General solution: Use periodicity:
    • sin and cos: period (2\pi) → (x = \alpha + 2k\pi) or (x = \pi - \alpha + 2k\pi) (for sin), (x = \pm \alpha + 2k\pi) (for cos).
    • tan: period (\pi) → (x = \alpha + k\pi).
    • (k \in \mathbbZ).

2.2 Periodicity

  • ( \sin(x) ), ( \cos(x) ): period (2\pi)
  • ( \tan(x) ): period (\pi)

Ejercicio 3 — Ecuación con tangente

Resolver: tan x = 1

Solución:

  • tan π/4 = 1.
  • Período de tan = π, por tanto: x = π/4 + πk, k ∈ Z.

¿Qué debes recordar antes de empezar?

Antes de lanzarte a los ejercicios, ten presente estas ideas clave: k ∈ Z.

  1. Siempre en grados o radianes: Asegúrate de que tu calculadora esté en el modo correcto (generalmente usaremos grados en Bachillerato).
  2. Ecuación fundamental: ( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 ) será tu mejor aliada.
  3. Ángulos notables: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° y sus equivalentes en los otros cuadrantes.
  4. Doble vuelta: Las soluciones no son únicas. Si no se restringe el dominio, damos soluciones generales: ( x = \alpha + 360° \cdot k ) (siendo ( k ) un entero).